三角函数与诱导公式

Twisuki2026/10/27约 1405 字大约 5 分钟

奇变偶不变, 符号看象限, ...

真的有人背书上那 8 组 20 个诱导公式吗? 所有人都在用口诀吧!

其实我连口诀都没用过...

正余弦的由来

~~正余弦来自初中课本.~~

初中第一次介绍了三个奇怪的运算符, sin, cos, tan, 大概是接触的第一组多个字母的运算符了, 当时只是要求做直角三角形里强行记忆关系, 非常的无理.

虽然数学/物理上使用的越来越多, 貌似已经把对/邻/斜的关系强行记住了, 然而死记硬背依旧掩盖不了它的无理性.

正弦是直角三角形对边和斜边的比值, 它最早来自圆中弦长与半径的比值关系, 如圆心角为直角时, 弦长与半径之比为 $2$ , 而半弦与半径之比是 $\frac{2}{2}$ .

对于弦长 $l$ , 圆心角 $θ$ , 半径 $R$ , 有 $l = R crd (θ)$ , 印度人称为 jya, 意为 "弦", "弓弦".

之后发现在以圆心角为顶点的三角形里, 做一条垂径, 分成两个直角三角形, 直角三角形在生活中更常见, 生产意义更优, 因此引入了 "半弦", 即现在的 sin, 有:

\frac{l}{2} = R sin (\frac{θ}{2})

印度人称 ardha-jya, 意为 "半弦".

后来阿拉伯人音译成 jiba, 省略元音写作 jb, 抄写者以为是 jayb (口袋, 海湾), 再意译成拉丁文 sinus (海湾, 褶皱), 再变成英文 sine, 缩写为 sin.

至于余弦, 余弦没有正弦的正统地位, 它的意思只是 "余角之正弦", cosine, 缩写为 cos.

中文翻译是徐光启定的, 徐光启没有拿着 sine 的意思意译, 而是仔细考证了来源, 译为 正半弦, 简称 正弦, 同理 cos 被译为 余弦.

从由来来看, 余弦来自正弦, 正弦来自圆, 从圆转化到现在的直角三角形, 如果从圆的视角看, 对边和斜边的关系就不显得那么奇怪了; 再从余角的正弦的视角看, 余弦邻边比斜边其实是来自另一个角, 被简化成了临边和斜边的关系, 少了一步计算, 多了一步思考的迷惑.

诱导公式其实是手算三角函数时候发现的规律, 但是最初无法解释. 直到文艺复兴时期, 三角函数有了统一的单位圆模型, 解释了所有规律, 并作为推导诱导公式的重要手段.

高中教材也有介绍单位圆模型, 但很不重要, 因此很多人甚至都没什么印象.

单位圆是圆心在原点, 半径为 1 的圆, 单位圆模型中角的顶点在圆心, 始边在 x 轴, 记终边和单位圆的交点为 $P$ , 以 $O P$ 在 xy 轴上的投影长度为三角函数值:

其中 x 轴投影长度为 $cos$ 的值, y 轴投影长度为 $sin$ 的值.

单位圆模型之后立即给出了 8 组 20 个诱导公式, 逼的学生直接发明了记忆口诀.

教材给出了使用单位圆完整推导的方法, 但因为教材考虑通用性, 推导很麻烦(主要是边界情况多), 很多人直接忽略, 选择直接背公式.

注意: 下面是记忆流程, 或者说是考试时快速得到结论的流程, 不是推导流程, 因为完全没考虑多种情况!

由于我们事先知道诱导公式是正确的, 只是记不住(不想记)内容, 那么我们快速获取一下内容即可, 那么认定要计算的角 $θ$ , 就在 $(0, \frac{π}{4})$ , 即一个小锐角.

快速画一个坐标系, 画出小锐角(单位圆本体都可能省掉, 只画出线段), 小锐角可保证 $sin$ 和 $cos$ 差很多, 投影到坐标轴上表现为一长一短, 长的是 $cos$ , 短的是 $sin$ , 且都是正值, 只需要长短即可判断是什么值:

接下来拿到问题, 例如 $cos (φ)$ , 其中 $φ = θ + \frac{3 π}{2}$ , 用旋转的方式找到目标角并画出线段, 目标是 $cos$ , 即水平投影, 是一条短线:

那么确定 $cos (φ)$ 的数值是 $sin (θ)$ , 而且是正的, 即:

cos (θ + \frac{3 π}{2}) = sin (θ)

默认角是第一象限小锐角省去了绝大多数讨论情况, 因此判断速度飞快; 即使明确指出 $θ$ 不是锐角, 或不在这个象限, 那也没关系, 我们只是为了快速得到公式的, 且事先知道公式本身的普适性, 只是为了快速得到答案而已.

在我查阅资料时候发现, 诱导公式的发现/推广流程是:
"经验" -> "单位圆模型推导" -> "航海家/数学家直接在单位圆上快速得到内容" -> "教材整理成公式并附上详细推导方法" -> "学生直接发明口诀背公式"
我上高中时候好像直接回到了 17 世纪...