现代控制理论笔记

期末周终于结束了...

虽然考的依托, 但知识还是有用的, 整理分享出来吧

---

前言

现代控制理论是经典控制理论的拓展, 引入 状态空间 的概念, 使用线性代数的形式描述内容.

这段时间的学习中, 分为如下几个部分:

1. 状态空间表达式: 状态空间 概念的引入和简介, 以及一些特殊矩阵的定义和性质
2. 状态空间表达式的解: 对各类状态方程的求解
3. 线性控制系统的能控性和能观性: 提出了 能控 和 能观 的概念, 并给出了性质和判定方法
4. 稳定性与李雅普诺夫方法: 对经典控制理论的 稳定性 的拓展, 引入了 李雅普诺夫 的稳定性定义和判定方法
5. 线性定常系统的综合: 对线性定常系统的综合分析, 也是上述内容的综合运用

• 前言
• 1. 状态空间表达式
  • 1.1 状态变量和状态空间表达式
  • 1.2 模拟结构图
  • 1.3 直接建立状态空间表达式
  • 1.4 根据传统控制理论建立状态空间表达式
  • 1.5 状态空间线性变换
  • 1.6 从状态空间表达式求传递函数
• 2. 状态空间表达式的解
  • 2.1 线性定常状态方程的解
  • 2.2 状态转移矩阵
  • 2.3 矩阵指数函数的计算
  • 2.4 线性定常系统非齐次方程的解
  • 2.5 线性时变系统的解
  • 2.6 离散时间系统状态方程的解
  • 2.7 线性连续时间系统的离散化
• 3. 线性控制系统的能控性和能观性
  • 3.1 能控性
  • 3.2 线性定常系统的能控性判别
  • 3.3 能观性
  • 3.4 线性定常系统能观性判别
  • 3.5 对偶关系
  • 3.6 离散时间系统的能控性与能观性
  • 3.7 时变系统的能控性与能观性
  • 3.8 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
  • 3.8 线性系统的结构分解
• 4. 稳定性与李雅普诺夫方法
  • 4.1 稳定性李雅普诺夫定义
  • 4.2 李雅普诺夫第一法 (间接法)
  • 4.3 李雅普诺夫第二法 (直接法)
  • 4.4 线性系统应用
• 5. 线性定常系统的综合
  • 5.1 线性反馈控制系统
  • 5.2 极点配置问题
  • 5.3 系统镇定问题
  • 5.4 系统解耦问题
  • 5.5 状态观测器

1. 状态空间表达式

1.1 状态变量和状态空间表达式

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$

书写步骤:

1. 确定输入输出变量
2. 列出方程, 得到状态方程
3. 写成线性组合形式

状态变量个数为独立储能元件个数

初值个数

例: RLC电路

状态变量: $x_1(t)=u_c,x_2(t)=i_L=i$

输入: $u(t)$

输出: $y(t)=u_c=x_1$

一阶微分方程:

$$\{\begin{array}{l}C\frac{d{u}_c}{dt}=i\\ L\frac{di}{dt}+Ri+u_c=u\end{array}$$

状态方程和输出方程:

$$\begin{gathered} x_t(t)=u_c,x_2(t)=i_L=i,y(t)=u_c=x_1 \\ \{\begin{array}{l}\dot{x_1}=\frac{x_2}{C}\\ \dot{x_2}=-\frac{x_1}{L}-\frac{R{x}_2}{L}+\frac{u}{L}\end{array} \\ y(t)=x_1 \end{gathered}$$

线性组合形式:

$$\begin{gathered} \dot{x}=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{C}\\ -\frac{1}{L}& -\frac{R}{L}\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{L}\end{array}\right)u \\ y=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)x \end{gathered}$$

1.2 模拟结构图

1.3 直接建立状态空间表达式

1.4 根据传统控制理论建立状态空间表达式

1.4.1 由微分方程

a) 不含输入量导数项

微分方程:

$$y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{n}y=bu$$

状态变量 (输出量各级导数):

$$x_1(t)=y(t),x_2=y^{\prime }(t),\cdots ,x_n(t)=y^{(n-1)}(t)$$

状态方程与输出方程:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\dot{x_1}=x_2\\ \cdots \\ \dot{x_{n-1}}=x_n\dot{(}{x}_n)=-a_1{x}_n-\cdots -a_n{x}_1+bu\end{array} \\ y=x_1 \end{gathered}$$

线性组合形式:

$$\begin{gathered} x^{\prime }=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\\ -a_n& -a_{n-1}& -a_{n-2}& \cdots & -a_1\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ b\end{array}\right)u \\ y=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\end{array}\right)x \end{gathered}$$

b) 含输入量导数项

微分方程:

$$y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{n}y=b_0{u}^{(n)}+\cdots +b_{n}u$$

状态变量 (线性转化为 a) 型):

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{\beta }_0=b_0\\ {\beta }_1=b_1-a_1{\beta }_0\\ {\beta }_2=b_2-a_1{\beta }_1-a_2{\beta }_0\\ {\beta }_3=b_3-a_1{\beta }_2-a_2{\beta }_1-a_3{\beta }_0\\ \cdots \\ {\beta }_n=b_n-a_1{\beta }_{n-1}-a_2{\beta }_{n-2}-\cdots -a_n{\beta }_0\end{array} \\ \{\begin{array}{l}{x}_1=y-{\beta }_{0}u\\ x_2=\dot{y}-{\beta }_{1}u-{\beta }_0\dot{u}\\ x_3=\ddot{y}-{\beta }_{2}u-{\beta }_1\dot{u}-{\beta }_0\ddot{u}\\ \cdots \end{array} \end{gathered}$$

1.4.2 由传递函数

a) 无重极点

传递函数 (求解极点并展开):

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}G(s)& =\frac{\cdots }{s^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_n}\\ & =\frac{\cdots }{(s-s_1)(s-s_2)\cdots (s-s_n)}\\ & =\frac{k_1}{s-s_1}+\frac{k_2}{s-s_2}+\cdots +\frac{k_n}{s-s_n}\end{array} \\ {k}_i=[G(s)(s-s_i)]{|}_{s=s_i} \end{gathered}$$

状态空间模型:

$$\begin{gathered} x^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{s}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& s_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & s_n\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)u \\ y=\left(\begin{array}{cccc}{k}_1& k_2& \cdots & k_n\end{array}\right)x \end{gathered}$$

b) 有重极点

传递函数 (求解极点并洛朗展开):

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}G(s)& =\frac{\cdots }{(s-s_1{)}^{l_1}(s-s_2{)}^{l_2}\cdots }\\ & =\frac{k_{11}}{(s-s_1{)}^{l_1}}+\frac{k_{12}}{(s-s_1{)}^{l_1-1}}+\cdots +\frac{k_{1l}}{s-s_1}+\frac{k_{21}}{(s-s_2{)}^{l_2}}+\cdots \end{array} \\ {k}_{ij}=\frac{1}{(j-1)!}\frac{d^{j-1}}{d{s}^{j-1}}[G(s)(s-s_i{)}^l]{|}_{s=s_i} \end{gathered}$$

状态空间模型:

$$\begin{gathered} x^{\prime }=\left(\begin{array}{ccccccccccccc}{s}_1& 1& \cdots & 0& & & & & & & & & \\ 0& s_1& \cdots & 0& & & & & & & & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & & & & & & & \\ 0& 0& \cdots & s_1& & & & & & & & & \\ & & & & s_2& 1& \cdots & 0& & & & & \\ & & & & 0& s_2& \cdots & 0& & & & & \\ & & & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & & & \\ & & & & 0& 0& \cdots & s_2& & & & & \\ & & & & & & & & \ddots & & & & \\ & & & & & & & & & s_n& 1& \cdots & 0\\ & & & & & & & & & 0& s_n& \cdots & 0\\ & & & & & & & & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ & & & & & & & & & 0& 0& \cdots & s_n\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\\ ⋮\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)u \\ y=\left(\begin{array}{cccccccccccccc}{k}_{11}& k_{12}& \cdots & k_{1l_1}& k_{21}& k_{22}& \cdots & k_{2l_2}& \cdots & k_{21}& k_{22}& \cdots & k_{2l_2}& \end{array}\right)x \end{gathered}$$

其中每一个块称为 约旦块, 整个矩阵称为 约旦矩阵:

$$\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & \lambda \end{array}\right)$$

1.5 状态空间线性变换

1.5.1 线性变换

同一线性空间的不同线性变量:

$$x=P{x}^{\prime },x^{\prime }=P^{-1}x$$

则有如下关系:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\dot{x^{\prime }}=A^{\prime }{x}^{\prime }+B^{\prime }u\\ y=C^{\prime }{x}^{\prime }+D^{\prime }u\end{array} \\ \text{各矩阵关系:}\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }=P^{-1}AP\\ B^{\prime }=P^{-1}B\\ C^{\prime }=CP\\ D^{\prime }=D\end{array} \\ \text{初值关系:}{x}^{\prime }(t_0)=P^{-1}x(t_0) \end{gathered}$$

1.5.2 逆矩阵的计算

a) 伴随矩阵法

$$P^{-1}=\frac{adj(P)}{|P|}$$

$adj(P)$ : 伴随矩阵, $|P|$ : 行列式

$$\begin{gathered} p_{ij}^{\ast }(\text{代数余子式})=(-1{)}^{i+j}\left|\begin{array}{c}\text{矩阵P对应行列式去掉i行j列的行列式}\end{array}\right| \\ adj(P)=\left(\begin{array}{cccc}{p}_{11}^{\ast }& p_{21}^{\ast }& \cdots & p_{n1}^{\ast }\\ p_{12}^{\ast }& p_{22}^{\ast }& \cdots & p_{n2}^{\ast }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ p_{1n}^{\ast }& p_{2n}^{\ast }& \cdots & p_{nn}^{\ast }\end{array}\right) \end{gathered}$$

b) 初等变换法

构造增广矩阵 $[PI]$, 做初等行变换得到 $[IT]$, 则 $P^{-1}=T$

$$\begin{array}{rl}[PI]& =\left(\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& |& 1& 0& 0\\ -1& -2& -3& |& 0& 1& 0\\ 1& 4& 9& |& 0& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& |& 1& 0& 0\\ 0& -1& -2& |& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& |& 1& 3/2& 1/2\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& |& 3& 5/2& 1/2\\ 0& 1& 0& |& -3& -4& -1\\ 0& 0& 1& |& 1& 3/2& 1/2\end{array}\right)\\ & =[I{P}^{-1}]\end{array}$$

1.5.3 特征值不变性与系统的不变量

特征方程: $|\lambda I-A|=0$, 特征值 $\lambda$, 特征向量: $(\lambda I-A)\mu =0,\mu$

1.5.4 对角线规范型

状态方程: $\dot{x}=Ax+Bu$

若 $A$ 各个特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 对应特征向量线性独立, 则存在变换矩阵 $P$, 可通过 $x=P{x}^{\prime }$ 的方式变换为对角线规范型

变换结果:

$$\begin{gathered} x^{\prime }=A^{\prime }{x}^{\prime }+B^{\prime }u \\ \text{系统矩阵:}{A}^{\prime }=P^{-1}AP=diag\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\} \\ \text{变换矩阵:}P=\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right) \\ {p}_i\text{为}{\lambda }_i\text{的特征向量} \end{gathered}$$

特例: 友矩阵转对角线规范型矩阵

友矩阵:

$$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\\ -a_n& -a_{n-1}& \cdots & -a_1\end{array}\right)$$

特征多项式:

$$|\lambda I-A|={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n$$

则特征值 ${\lambda }_i$, 特征向量 $p_i={\left(\begin{array}{cccc}1& {\lambda }_i& \cdots & {\lambda }_i^{n-1}\end{array}\right)}^T$

当友矩阵特征值互异时, 对角变换矩阵 $P$ 为范德蒙矩阵:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\lambda }_1^{n-1}& {\lambda }_2^{n-1}& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right)$$

1.5.5 约旦规范型

约旦块:

$$J_i=\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & {\lambda }_i\end{array}\right)$$

约旦矩阵: 由 $l$ 个约旦块构成的块对角矩阵

矩阵变换为约旦矩阵, 约旦块数为矩阵线性独立特征向量数, 即几何重数

1.6 从状态空间表达式求传递函数

状态空间表达式:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

其中 x 为 n 维状态, u 为 r 维输入, y 为 m 维输出

传递函数阵:

$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$$

G(s) 为 $m\ast r$ 矩阵

2. 状态空间表达式的解

2.1 线性定常状态方程的解

方程: $\dot{x}(t)=Ax(t)$, 自由解: $x(t)=e^{A(t-t_0)}{x}_0$

零初条件下 $t_0=0$, 自由解: $x(t)=e^{At}{x}_0$

$$\begin{array}{rl}x(t)& =(I+At+\frac{1}{2!}{A}^2{t}^2+\cdots +\frac{1}{k!}{A}^k{t}^k+\cdots )x_0\\ & =e^{At}{x}_0\end{array}$$

2.2 状态转移矩阵

状态转移矩阵: $\Phi (t)=e^{At}$, 为 $x(0)$ 到 $x(t)$ 的状态转移矩阵

则 $\bar{x}=Ax$ 的解为 $x(t)=\Phi (t)x_0=\Phi (t-t_0)x(t_0)$

2.2.1 基本性质

a) $\dot{\Phi }(t)=A\Phi (t)=\Phi (t)A$, ${\Phi }^{-1}(t)=\Phi (-t)$

b) 零初: $\Phi (0)=I$

c) 组合: $\Phi (t_1\pm t_1)=\Phi (t_1)\Phi (\pm t_2)$

d) 分段: $\Phi (t_2-t_0)=\Phi (t_2-t_1)\Phi (t_1-t_0)$, $x(t_2)=\Phi (t_2-t_1)x(t_1)$

e) 若方阵 $AB=BA$, 则 $e^{(A+B)t}=e^{At}{e}^{Bt}$, 否则不满足

f) 若 $A=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$ 为对角矩阵, 则 $e^{At}=diag(e^{{\lambda }_{1}t},e^{{\lambda }_{2}t},\cdots ,e^{{\lambda }_{n}t})$ 也是对角矩阵

2.2.2 特殊矩阵的状态转移矩阵

a) 对角

b) 能进行对角化

$$\begin{gathered} T^{-1}AT=\Lambda \\ {e}^{At}=\Phi (t)=Tdiag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)T^{-1} \end{gathered}$$

c) 约旦矩阵

$$\begin{gathered} A=J=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& & & 0\\ & \lambda & 1& & \\ & & \cdots & \cdots & \\ 0& & & & \lambda \end{array}\right) \\ {e}^{At}=e^{\lambda t}\left(\begin{array}{ccccc}1& t& \frac{1}{2}{t}^2& \cdots & \frac{1}{(n-1)!}{t}^{n-1}\\ 0& 1& t& \cdots & \frac{1}{(n-2)!}{t}^{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & t\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right) \end{gathered}$$

d) 三角矩阵

$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cc}\sigma & \omega \\ -\omega & \sigma \end{array}\right) \\ {e}^{At}=\left(\begin{array}{cc}cos\omega t& sin\omega t\\ -sin\omega t& cos\omega t\end{array}\right)e^{\sigma t} \end{gathered}$$

2.3 $e^{At}$ 矩阵指数函数的计算

a) 直接计算

$$e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}{A}^2{t}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{A}^n{t}^n+\cdots$$

b) 变化 A 为约旦标准型

• 特征根互异: $J=T^{-1}AT,e^{At}=T{e}^{Jt}{T}^{-1}$
• 特征值有重根: $\Lambda =T^{-1}AT,e^{At}=T{e}^{\Lambda t}{T}^{-1}$

c) 对 $(sI-A{)}^{-1}$ 拉氏反变换

$$e^{At}=L^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]$$

d) 凯莱-哈密顿法

表达式:

$$e^{At}=a_0(t)I+a_1(t)A+\cdots +a_{n-1}(t)A^{n-1}$$

当 A 各个特征值互异时, 方程为:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_0(t)\\ a_1(t)\\ ⋮\\ a_{n-1}(t)\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2& \cdots & {\lambda }_1^{n-1}\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2& \cdots & {\lambda }_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\lambda }_n& {\lambda }_n^2& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{e}^{{\lambda }_{1}T}\\ e^{{\lambda }_{2}T}\\ ⋮\\ e^{{\lambda }_{n}T}\end{array}\right)$$

当 A 各个特征值相同时, 方程为:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_0(t)\\ a_1(t)\\ ⋮\\ a_{n-1}(t)\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& \frac{(n-1)\cdots 2}{(n-2)!}\lambda \\ 0& 0& ⋮& \dots & 0& ⋮\\ 0& 0& 1& \dots & \dots & \frac{(n-1)(n-2)}{2!}{\lambda }^{n-1}\\ 0& 1& 2\lambda & \dots & \dots & (n-1){\lambda }^{n-1}\\ 1& \lambda & {\lambda }^2& \dots & \dots & {\lambda }^{n-1}\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{(n-1)!}{t}^{n-1}{e}^{\lambda t}\\ \frac{1}{(n-2)!}{t}^{n-2}{e}^{\lambda t}\\ ⋮\\ \frac{1}{2!}{t}^2{e}^{\lambda t}\\ t{e}^{\lambda t}\\ e^{\lambda t}\end{array}\right)$$

混合情况, 两种组合求解

2.4 线性定常系统非齐次方程的解

2.4.1 直接积分法

方程: $\dot{X}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

解:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}x(t)& =e^{At}x(0)+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau \\ & =\Phi (t)x(0)+{\int }_0^t\Phi (t-\tau )Bu(\tau )d\tau \end{array} \\ x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau \end{gathered}$$

2.4.2 拉氏变化法

$$\begin{array}{rl}x(t)& =e^{At}x(0)+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau \\ \text{或}x(t)& =e^{At}x(0)+{\int }_0^t{e}^{A(\tau )}Bu(t-\tau )d\tau \end{array}$$

2.4.3 经典输入

a) 脉冲 $u(t)=K\delta (t)$: $x(t)=e^{At}(x_0+BK)$

b) 阶跃 $u(t)=K1(t)$: $x(t)=e^{At}{x}_0+A^{-1}(e^{At}-I)BK$

c) 斜坡 $u(t)=Kt$: $x(t)=e^{At}{x}_0+(A^{-2}(e^{At}-I)+A^{-1}t)BK$

2.5 线性时变系统的解

线性时变系统表达式:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\ y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\end{array} \\ \text{ABCD任一为时间连续函数, 则系统为线性时变系统} \end{gathered}$$

时变其次状态方程: $\dot{x}(t)=A(t)x(t)$, 解为: $x(t)=\Phi (t,t_0)x(t_0)$, $\Phi (t,t_0)$ 称为时变系统转移矩阵

2.5.1 求解

a) $A(t)$ 与 ${\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau$ 可交换

$$\Phi (t,t_0)=I+{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau +\frac{1}{2!}({\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau ){)}^2+\cdots$$

b) $A(t)$ 与 ${\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau$ 不可交换

$$\begin{array}{rl}\Phi (t,t_0)& =I+{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )(I+{\int }_{t_0}^{\tau }A({\tau }_1)\Phi ({\tau }_1,t_0)d{\tau }_1)d\tau \\ & =I+{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau +{\int }_{t_0}^{t}A(\tau ){\int }_{t_0}^{\tau }A({\tau }_1)\Phi ({\tau }_1,t_0)d{\tau }_{1}d\tau \end{array}$$

2.5.2 性质

a) 零初: $\Phi (t,t)=I$

b) 分段: $\Phi (t_2,t_0)=\Phi (t_2,t_1)\Phi (t_1,t_0)$

c) $\Phi (t,t_0{)}^{-1}=\Phi (t_0,t)$

d) $\dot{\Phi }(t,t_0)=A(t)\Phi (t,t_0)$

转移方程:

$$\Phi (t,t_0)=I+{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau +{\int }_{t_0}^{t}A({\tau }_1)({\int }_{t_0}^{{\tau }_1}A({\tau }_2)d{\tau }_2)d{\tau }_1+\cdots$$

一般不能写成封闭形式, 仅当 $A(t)({\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau )=({\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau )A(t)$ 时, 才能写成:

$$\Phi (t,t_0)=e^{{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau }$$

2.5.3 时变非齐次状态方程的解

方程:

$$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$$

解:

$$x(t)=\Phi (t,t_0)x(t_0)+{\int }_{t_0}^t\Phi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$$

2.6 离散时间系统状态方程的解

2.7 线性连续时间系统的离散化

3. 线性控制系统的能控性和能观性

3.1 能控性

$$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$$

3.1.1 状态能控: 初始时刻 $x(t_0)=x_0$, 有无约束的 $u(t)$, 使优先时间区间 $[t_0,t_f]$ 内, 系统可运动到 $x(t_f)=0$, 称系统在 $t_0$ 时刻能控, 记作 $x_c$

$$\forall x_0\ne 0\to x(t_f)=0$$

3.1.2 系统能控: 对于所有初始状态 $x_0\ne 0$, 在 $t_0$ 时刻均可控, 则称在 $t_0$ 时刻完全状态可控, 简称系统能控

若 $\forall x(t_0)=0\to x(t_f)=0$, 称 $x_f$ 在 $t_0$ 能达

线性连续系统的能控性和能达性等价

线性时变系统需强调 $t_0$ 时刻, 若与 $t_0$ 无关, 则称 一致能控

定常系统与初始时间无关, 称 状态能控 或 系统能控

3.1.3 不完全能控: 状态空间中存在非零状态的 $t_0$ 时刻不可控, 则称系统在 $t_0$ 时刻不完全可控

3.2 线性定常系统的能控性判别

3.2.1 对角线规范型判据

将状态空间表达式化为对角线规范型, 得到对角线规范型(或约旦规范型)系统矩阵 $A$ 和控制矩阵 $B$:

$$\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }=P^{-1}AP\\ B^{\prime }=P^{-1}B\end{array}$$

系统可控条件为:

• 若 $A$ 为对角矩阵, 则 $B$ 不包含全 $0$ 行
• 若 $A$ 为约旦矩阵, 则各个约旦块对应 $B$ 中最后一行不全为 $0$, 且相同特征值不同约旦块对应各个 $B$ 中最后一行互相线性无关

此外结构图中不包含于输入 $u$ 无关的孤立方块, 则系统可控

3.2.2 格拉姆矩阵判据

格拉姆矩阵:

$$W_c(t_0,t_1)={\int }_{t_0}^{t_1}\Phi (t_0,t)B(t)B^T(t){\Phi }^T(t_0,t)dt$$

系统可控条件为: 存在 $t_1$ 使格拉姆矩阵 $G_c(t_0,t_f)$ 为非奇异的

3.2.3 秩判据

可控性判别阵: $M=\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]$

系统可控条件为: $rankM=n$, $n$ 为 $A$ 的维数, $rank$ 为矩阵的秩, 即最大线性无关组元素数

3.2.4 PBH 秩判据

系统可控条件为: 对于 $A$ 所有特征值 ${\lambda }_i$, 有

$$rank\left[\begin{array}{c}{\lambda }_{i}I-AB\end{array}\right]=n$$

3.2.5 输出能控

输出能控矩阵: $Q=\left[\begin{array}{cccc}CB& CAB& \cdots & C{A}^{n-1}BD\end{array}\right]$

系统输出能控条件: $rankQ=q$, 即 $Q$ 满秩

3.3 能观性

• 状态能观
• 系统能观
• 状态不能观

3.4 线性定常系统能观性判别

3.4.1 对角线规范型判据

将状态空间表达式化为对角线规范型, 得到对角线规范型(或约旦规范型)系统矩阵 $A$ 和输出矩阵 $C$:

$$\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }=P^{-1}AP\\ C^{\prime }=CP\end{array}$$

系统可控条件为:

• 若 $A$ 为对角矩阵, 则 $C$ 不包含全 $0$ 行
• 若 $A$ 为约旦矩阵, 则各个约旦块对应 $C$ 的首列不全为 $0$, 且相同特征值不同约旦块对应各个 $C$ 的首列互相线性无关

3.4.2 格拉姆矩阵判据

格拉姆矩阵:

$$G_o(t_0,t_f)={\int }_{t_0}^{t_f}{\Phi }^T(\tau ,t_0)C^T(\tau )C(\tau )\Phi (\tau ,t_0)d\tau$$

系统可控条件为: 存在 $t$ 使格拉姆矩阵 $G_o(0,t_f)$ 为非奇异的

3.4.3 秩判据

系统可控条件为:

$$\begin{gathered} Q=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right] \\ rankQ=n \end{gathered}$$

3.4.4 PBH 秩判据

系统可控条件为: 对于 $A$ 所有特征值 ${\lambda }_i$, 有

$$rank\left[\begin{array}{c}{\lambda }_{i}I-A\\ C\end{array}\right]=n$$

3.5 对偶关系

3.6 离散时间系统的能控性与能观性

3.6.1 能控性

离散线性系统:

$$\{\begin{array}{l}x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)\\ y(k)=C(k)x(k)\end{array}$$

对于初始时刻 $h$ 与非零初始状态 $x(h)=x_0$, 可达 $x(l)=0$, 称在 $h$ 时刻能控

对于线性定常系统, 不在强调 $h$ 时刻, 称系统能控

3.6.2 能控性判据

a) $G$ 奇异时, 条件为:

$$\begin{gathered} M=\left[\begin{array}{cccc}H& GH& \cdots & G^{n-1}H\end{array}\right] \\ rankM=n \end{gathered}$$

b) $G$ 非奇异时, 上式为充分条件, $l(l<n)$ 步内能控充要条件为:

$$\begin{gathered} M=\left[\begin{array}{cccc}H& GH& \cdots & G^{l-1}H\end{array}\right] \\ rankM=n \end{gathered}$$

3.6.3 能达性判据

能达性充要条件: $rank\left[\begin{array}{cccc}H& GH& \cdots & G^{n-1}H\end{array}\right]=n$

$l(l<n)$ 步能达充要条件: $rank\left[\begin{array}{cccc}H& GH& \cdots & G^{l-1}H\end{array}\right]=n$

3.6.4 能观性判据

$$\begin{gathered} Q=\left[\begin{array}{c}C\\ CG\\ ⋮\\ C{G}^{n-1}\end{array}\right] \\ rankQ=n \end{gathered}$$

3.6.5 连续系统离散化的保持性

线性定常连续系统离散化后, 保持能控能观条件:

对于所有实部相同的特征值 ${\lambda }_i,{\lambda }_j$, 采样周期满足 $T\ne \frac{2k\pi }{Im({\lambda }_i-{\lambda }_j)}$

3.7 时变系统的能控性与能观性

3.7.1 格拉姆矩阵判据

• 能控性: $G_c(t_0,t_f)={\int }_{t_0}^{t_f}\Phi (t_0,\tau )B(\tau )B^T(\tau ){\Phi }^T(t_0,\tau )d\tau$
• 能观性: $G_o(t_0,t_f)={\int }_{t_0}^{t_f}{\Phi }^T(\tau ,t_0)C^T(\tau )C(\tau )\Phi (\tau ,t_0)d\tau$

需判断状态转移矩阵是否可交换: $A(t_1)A(t_2)=A(t_2)A(t_1)$, 若可交换, 可写成封闭形式: $\Phi (t,t_0)=e^{{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau }$

不可交换时, 使用如下充分判据

3.7.2 能控性判据

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{B}_1(t)=B(t)\\ B_2(t)=-A(t)B_1(t)+{\dot{B}}_1(t)\\ \cdots \\ B_i(t)=-A(t)B_{i-1}(t)+{\dot{B}}_{i-1}(t)\end{array} \\ M(t)=\left[\begin{array}{cccc}{B}_1(t)& B_2(t)& \cdots & B_n(t)\end{array}\right] \end{gathered}$$

若 $\exists t_f>0,rankM(t_f)=n$, 则能控

3.7.3 能观性判据

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{C}_1(t)=C(t)\\ C_2(t)=C_1(t)A(t)+{\dot{C}}_1(t)\\ \cdots \\ C_i(t)=C_{i-1}(t)A(t)+{\dot{C}}_{i-1}(t)\end{array} \\ Q(t)=\left[\begin{array}{c}{C}_1(t)\\ C_2(t)\\ ⋮\\ C_n(t)\end{array}\right] \end{gathered}$$

若 $\exists t_f>0,rankQ(t_f)=n$, 则能观

3.8 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型

能控/能观的状态空间表达式能化成标准型

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+bu\\ y=Cx\end{array}$$

特征多项式: $|\lambda I-A|={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$

3.8.1 能控标准 1 型

$$\begin{gathered} x=P_{c1}\bar{x} \\ {P}_{c1}=\left[\begin{array}{cccc}{A}^{n-1}b& A^{n-2}b& \cdots & Ab,b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}1& & & & \\ a_{n-1}& 1& & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & & \\ a_2& a_3& \cdots & 1& \\ a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}& 1\end{array}\right] \\ \{\begin{array}{l}\bar{A}=P_{c1}^{-1}A{P}_{c1}\\ \bar{b}=P_{c1}^{-1}b\\ \bar{C}=C{P}_{c1}\end{array} \end{gathered}$$

3.8.2 能控标准 2 型

$$\begin{gathered} x=P_{c2}\bar{x} \\ {P}_{c2}=\left[\begin{array}{cccc}b& Ab& \cdots & A^{n-1}b\end{array}\right] \end{gathered}$$

3.8.3 能观标准 1 型

$$\begin{gathered} x(t)=P_{o1}\tilde{x}(t) \\ {P}_{o1}^{-1}=Q=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right] \end{gathered}$$

3.8.4 能观标准 2 型

$$\begin{gathered} x=P_{o2}\tilde{x}(t) \\ {P}_{o2}^{-1}=\left[\begin{array}{ccccc}1& a_{n-1}& \cdots & a_2& a_1\\ 0& 1& \cdots & a_3& a_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& a_{n-1}\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}C{A}^{n-1}\\ ⋮\\ CA\\ C\end{array}\right] \end{gathered}$$

3.8 线性系统的结构分解

系统 $\to$ 能控能观, 能控不能观, 不能控能观, 不能控不能观

3.8.1 能控性分解

能控性判别阵: $M=\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]$, 选择前 $rankM$ 个线性无关的列向量

构建变换矩阵 $R_c$, 所得列向量为 $R_c$ 前若干列, 其余列保证 $R_c$ 非奇异下任选

$$\{\begin{array}{l}\hat{A}=R_c^{-1}A{R}_c\\ \hat{b}=R_c^{-1}b\\ \hat{C}=C{R}_c\end{array}$$

3.8.2 能观性分解

能观性判别阵: $Q=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n01}\end{array}\right]$, 选择前 $rankM$ 个线性无关的行向量

构建变换矩阵 $R_o$, 所得行向量为 $R_o$ 前若干行, 其余行保证 $R_o$ 非奇异下任选

3.8.3 混合分解

• 先按能控性分解系统 $\sum (A,B,C)$, 得到 ${\sum }_C,{\sum }_{\bar{C}}$
• 按能观性分解不能控子系统 ${\sum }_{\bar{C}}(\bar{A},\bar{B},\bar{C})$, 得到 ${\sum }_{\bar{C}O},{\sum }_{\bar{C}\bar{O}}$
• 按能观性分解能控子系统 ${\sum }_C(\bar{A},\bar{B},\bar{C})$, 得到 ${\sum }_{CO},{\sum }_{C\bar{O}}$

4. 稳定性与李雅普诺夫方法

4.1 稳定性李雅普诺夫定义

4.1.1 稳定性

系统其次状态方程 $\dot{x}=f(x,t)$, 在初始条件 $(t_0,x_0)$ 下, 有唯一解 $x=\Phi (t;x_0,t_0)$

上式表示从初始状态随 $t$ 的一条轨迹, 若存在状态 $x_e$, 对于所有 $t$, 都有 $f(x_e,t)=0$, 则称 $x_e$ 为系统的平衡状态

运动到平衡状态后, 各状态不再变化; 系统不一定存在平衡状态, 也可能存在多个平衡状态

线性系统 $\dot{x}=Ax$, 若 $A$ 非奇异, 则 $A{x}_e=0$ 的 $x_e$ 为唯一的平衡状态; 若 $A$ 非奇异, 则存在无穷个平衡状态

非线性系统平衡状态由 $f(x_e,t)=0$ 计算

4.1.2 范数

向量的长度称为范数, 向量差的范数称为向量的距离

$$\begin{gathered} ||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}=(x^{T}x{)}^{\frac{1}{2}} \\ ||x-x_e||=\sqrt{(x_1-x_{e1}{)}^2+\cdots +(x_n-x_{en}{)}^2} \end{gathered}$$

4.1.3 李雅普诺夫稳定性分类

$||\Phi (x_0,t_0;t)\le \epsilon ||$, 初态下引起的自由响应是有界的, 根据有界性分类

记球域 $s(\delta )$ 为初态 $x_0$ 取值, 球域 $s(\epsilon )$ 为自由响应边界

a) 稳定和一致稳定

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,||x-x_e||\le \epsilon$, 则称 $x_e$ 是稳定的

一般 $\epsilon$ 与 $\delta$ 和 $t_0$ 有关, 若 $\delta$ 与 $t_0$ 无关, 则称一致稳定的

b) 渐进稳定

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,li{m}_{t\to \infty }||x-x_e||=0$, 则称渐进稳定

即从有范围的初态内, 收敛于一点

c) 大范围渐进稳定

$\forall x_0$, 在 $t\to \infty$ 时, 都收敛到 $x_e$, 则称大范围渐进稳定

d) 不稳定

$\forall \epsilon ,\delta ,\exists x_0$, 使得该点触发的轨迹超出球域, 称不稳定

总结:

• $x(t)$ 有界, 则 $x_e$ 稳定
• $x(t)$ 有界且收敛一点, 则 $x_e$ 渐进稳定
• $x(t)$ 无界, 则 $x_e$ 不稳定

经典理论中, 仅渐进稳定称为稳定, 李雅普诺夫稳定为临界稳定, 工程上认为是不稳定的

4.2 李雅普诺夫第一法 (间接法)

4.2.1 线性系统稳定性判据

状态渐进稳定条件: $A$ 的所有特征值都具有负实部, 即 $Re({\lambda }_i)<0$

输出稳定性: 对于输入 $u$, 引起的输出 $y$ 是有界的

输出稳定条件: 传递函数 $W(s)=C(sI-A{)}^{-1}B$ 的极点均位于 $s$ 左半平面

状态稳定一定输出稳定, 反之不一定; 状态稳定输出稳定对等时, 系统能控又能观

4.2.2 非线性系统稳定性判据

状态方程: $\dot{x}=f(x,t)$

线性化方程:

$$\begin{gathered} A=\frac{\delta f}{\delta x^T}{|}_{x=x_e}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\delta f_1}{\delta x_1}& \frac{\delta f_1}{\delta x_2}& \cdots & \frac{\delta f_1}{\delta x_n}\\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1}& \frac{\delta f_2}{\delta x_2}& \cdots & \frac{\delta f_2}{\delta x_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\delta f_n}{\delta x_1}& \frac{\delta f_n}{\delta x_2}& \cdots & \frac{\delta f_n}{\delta x_n}\end{array}\right] \\ \Delta \dot{x}=A\Delta x \end{gathered}$$

$A$ 所有特征值均有负实部, 则 $x_e=0$ 渐进稳定

部分为零, 无法判断

4.3 李雅普诺夫第二法 (直接法)

构造标量函数 $V(x)$

4.3.1 标量函数符号性质

• $V(x)>0$, 正定
• $V(x)\ge 0$, 半正定
• $V(x)<0$, 负定
• $V(x)\le 0$, 半负定
• $V(x)\ne 0$, 不定

4.3.2 二次型标量函数

若 $V(x)=x^{T}Px$, 则 $V(x)$ 为二次型标量函数, 当 $P$ 为对称矩阵时, 则 $V(x)=x^{T}Px=\sum {\lambda }_i{\bar{x}}_i^2$, 其中 ${\lambda }_i$ 为 $P$ 特征值

$P$ 符号性质与 $V$ 相同

构建 ${\Delta }_i$ 为 $P$ 前 $i$ 行 $i$ 列的行列式, 则有希维尔斯特判据:

• ${\Delta }_i>0$, $P$ 正定
• $i$ 为偶数, ${\Delta }_i>0$, $i$ 为奇数, ${\Delta }_i<0$, $P$ 负定
• ${\Delta }_i\ge 0$, $P$ 半正定
• $i$ 为偶数, ${\Delta }_i\ge 0$, $i$ 为奇数, ${\Delta }_i\le 0$, $P$ 半负定

4.3.3 稳定性判据

构建 $V(x)$ 与一阶导 $\dot{V}(x)$

• 若 $V(x)$ 正定, $\dot{V}(x)$ 负定, 则渐进稳定
• 若 $V(x)$ 正定, $\dot{V}(x)$ 半负定, 则李雅普诺夫稳定; 且 $x\ne 0$ 时 $\dot{V}(x)$ 不恒为零, 则渐进稳定
• 若 $V(x)$ 正定, $\dot{V}(x)$ 正定, 则不稳定
• 若 $V(x)$ 正定, $\dot{V}(x)$ 半正定, 且 $x\ne 0$ 时 $\dot{V}(x)$ 不恒为零, 则不稳定

4.4 线性系统应用

构造实对称矩阵:

$$P=\left[\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1n}\\ p_{12}& p_{22}& \cdots & p_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ p_{1n}& p_{2n}& \cdots & p_{nn}\end{array}\right]$$

任取实对称矩阵 $Q$, 构造 $-Q=A^{T}P+PA$, 计算 $P$

构造 $V(x)=x^{T}Px$, $\dot{V}(x)=x^T(-Q)x$

根据李雅普诺夫第二法判断

5. 线性定常系统的综合

5.1 线性反馈控制系统

5.1.1 反馈控制结构

原系统:

$${\Sigma }_0:\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

a) 状态反馈: $u=Kx+v$

$${\Sigma }_K:\{\begin{array}{l}\dot{x}=(A+BK)x+Bv\\ y=(C+DK)x+Dv\end{array}$$

若 $D=0$, 传递函数: $W_k(s)=C[sI-(A+BK){]}^{-1}B$

b) 输出反馈: $u=Hy+v$

$$\begin{gathered} u=H(Cx+Du)+v=(I-HD{)}^{-1}(HCx+v) \\ {\Sigma }_H:\{\begin{array}{l}\dot{x}=[A+B(I-HD{)}^{-1}HC]x+B(I-HD{)}^{-1}v\\ u=[C+D(I-HD{)}^{-1}HC]x\end{array} \end{gathered}$$

若 $D=0$, 则:

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=(A+BHc)x+Bv\\ y=Cx\end{array}$$

c) 输出到状态矢量反馈: $\dot{x}=Ax+Gy+Bu$

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=(A+GC)x+(B+GD)u\\ y=Cx+Du\end{array}$$

若 $D=0$, 传递函数: $W_G(s)=C[sI-(A+GC){]}^{-1}B$

5.1.2 动态补偿器

被控系统: $\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx\end{array}$

输出反馈动态补偿器:

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Rz+Sy+Tv\\ u=Lz+My+Nv\end{array}$$

增广状态向量: $x_e=\left[\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right]$, 则:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{\dot{x}}_e=A_e{x}_e+B_{e}v\\ y=C_e{x}_e\end{array} \\ {A}_e=\left[\begin{array}{cc}A+BMC& BL\\ SC& R\end{array}\right],B_e=\left[\begin{array}{c}BN\\ T\end{array}\right],C_e=\left[\begin{array}{cc}C& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

被控系统中动态补偿器下的空值, 等价于增广系统在静态反馈 $u_e=K{y}_e+Gv$ 的控制作用

5.1.3 反馈的能控性能观性

• 状态反馈不改变能控性, 但不一定保证能观性
• 输出反馈不改变能控性能观性
• 输出至状态导数的反馈不改变能观性, 但不一定保证能控性

5.2 极点配置问题

5.2.1 状态反馈

系统完全能控, 则可使用状态反馈任意配置极点

a) 直接配置

若系统能控, 构建目标特征多项式: $\varphi (s{)}^{\ast }=\prod (s-{\lambda }_i^{\ast })$

列出系统特征多项式: $\varphi (s)=det[sI-(A+bK)]=\varphi (s,k_i)$

联立两个多项式, 解出 $K$

b) 利用能控标准型配置

若系统能控, 求特征多项式: $det[sI-A]=s^n+a_{n-a}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0$

求目标多项式 $\varphi (s{)}^{\ast }$, 设目标是能控标准型, 求出目标反馈行向量:

$$\bar{K}=\left[\begin{array}{cccc}{\bar{k}}_0& {\bar{k}}_1& \cdots & {\bar{k}}_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_0-a_0^{\ast }& a_1-a_1^{\ast }& \cdots & a_n-a_n^{\ast }\end{array}\right]$$

求将原系统化为标准型的变化矩阵 $P$, 并由 $K=\bar{K}{P}^{-1}$ 得到 $K$

5.2.2 输出线性反馈

系统完全能控, 无法使用输出线性反馈任意配置极点

5.2.3 动态补偿器

对于完全能控的系统, 若系统完全能观, 且动态补偿器阶数为 $n-1$, 则可任意配置极点

5.2.4 输出到 $\dot{x}$ 反馈

系统完全能观, 可使用输出到 $\dot{x}$ 反馈任意配置极点

5.3 系统镇定问题

5.4 系统解耦问题

5.5 状态观测器

本人预测它不能考, 但是本人预测错了 T_T

---

真的会有人用 latex 和 markdown 记笔记吗? 神奇的是不单单记录完整了, 甚至还记住了...

希望你永远也用不上这些知识, 希望你永远不会受控制原理的摧残

如果真的很不幸, 也希望能帮到你