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# 现代控制理论笔记

期末周终于结束了...

虽然考的依托, 但知识还是有用的, 整理分享出来吧

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## 前言

现代控制理论是经典控制理论的拓展, 引入 `状态空间` 的概念, 使用线性代数的形式描述内容.

这段时间的学习中, 分为如下几个部分:

1. 状态空间表达式: `状态空间` 概念的引入和简介, 以及一些特殊矩阵的定义和性质
2. 状态空间表达式的解: 对各类状态方程的求解
3. 线性控制系统的能控性和能观性: 提出了 `能控` 和 `能观` 的概念, 并给出了性质和判定方法
4. 稳定性与李雅普诺夫方法: 对经典控制理论的 `稳定性` 的拓展, 引入了 `李雅普诺夫` 的稳定性定义和判定方法
5. 线性定常系统的综合: 对线性定常系统的综合分析, 也是上述内容的综合运用

\[\[toc]]

## 1. 状态空间表达式

### 1.1 状态变量和状态空间表达式

$$
\begin{cases}
\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\
y(t) = Cx(t) + Du(t)
\end{cases}
$$

书写步骤:

1. 确定输入输出变量
2. 列出方程, 得到状态方程
3. 写成线性组合形式

> 状态变量个数为独立储能元件个数
>
> 初值个数

例: RLC电路

状态变量: $x\_1(t) = u\_c, \ x\_2(t) = i\_L = i$

输入: $u(t)$

输出: $y(t) = u\_c = x\_1$

一阶微分方程:

$$
\begin{cases}
C \frac{du\_c}{dt} = i \\
L \frac{di}{dt} + Ri + u\_c = u
\end{cases}
$$

状态方程和输出方程:

$$
x\_t(t) = u\_c, \ x\_2(t) = i\_L = i, \ y(t) = u\_c = x\_1 \\
\ \\
\begin{cases}
\dot{x\_1} = \frac{x\_2}{C} \\
\dot{x\_2} = - \frac{x\_1}{L} - \frac{Rx\_2}{L} + \frac{u}{L}
\end{cases} \\
\ \\
y(t) = x\_1
$$

线性组合形式:

$$
\dot{x} =
\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{C} \\
-\frac{1}{L} & -\frac{R}{L}
\end{pmatrix}
x +
\begin{pmatrix}
0 \\
\frac{1}{L}
\end{pmatrix}
u \\
\ \\
y =
\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix}
x
$$

### 1.2 模拟结构图

### 1.3 直接建立状态空间表达式

### 1.4 根据传统控制理论建立状态空间表达式

#### 1.4.1 由微分方程

##### a) 不含输入量导数项

微分方程:

$$
y^{(n)} + a\_1y^{(n - 1)} + \cdots + a\_ny = bu
$$

状态变量 (输出量各级导数):

$$
x\_1(t) = y(t), \ x\_2 = y'(t), \cdots, x\_n(t) = y^{(n - 1)}(t)
$$

状态方程与输出方程:

$$
\begin{cases}
\dot{x\_1} = x\_2 \\
\cdots \\
\dot{x\_{n - 1}} = x\_{n}
\dot(x\_n) = -a\_1 x\_n - \cdots - a\_n x\_1 + bu
\end{cases} \\
\ \\
y = x\_1
$$

线性组合形式:

$$
x' =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
-a\_n & -a\_{n - 1} & -a\_{n - 2} & \cdots & -a\_1
\end{pmatrix}
x +
\begin{pmatrix}
0 \ 0 \ \vdots \ 0 \ b
\end{pmatrix}
u \\
\ \\
y = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}
x
$$

##### b) 含输入量导数项

微分方程:

$$
y^{(n)} + a\_1 y^{(n - 1)} + \cdots + a\_n y = b\_0u^{(n)} + \cdots + b\_n u
$$

状态变量 (线性转化为 a) 型):

$$
\begin{cases}
\beta\_0 = b\_0 \\
\beta\_1 = b\_1 - a\_1 \beta\_0 \\
\beta\_2 = b\_2 - a\_1 \beta\_1 - a\_2 \beta\_0 \\
\beta\_3 = b\_3 - a\_1 \beta\_2 - a\_2 \beta\_1 - a\_3 \beta\_0 \\
\cdots \\
\beta\_n = b\_n - a\_1 \beta\_{n - 1} - a\_2 \beta\_{n - 2} - \cdots - a\_n \beta\_0
\end{cases} \\
\ \\
\begin{cases}
x\_1 = y - \beta\_0 u \\
x\_2 = \dot{y} - \beta\_1 u - \beta\_0 \dot{u} \\
x\_3 = \ddot{y} - \beta\_2 u - \beta\_1 \dot{u} - \beta\_0 \ddot{u} \\
\cdots
\end{cases}
$$

#### 1.4.2 由传递函数

##### a) 无重极点

传递函数 (求解极点并展开):

$$
\begin{align\*}
G(s) & = \frac{\cdots}{s^n + a\_1 s^{n - 1} + \cdots + a\_n} \\
& = \frac{\cdots}{(s - s\_1)(s - s\_2)\cdots(s - s\_n)} \\
& = \frac{k\_1}{s - s\_1} + \frac{k\_2}{s - s\_2} + \cdots + \frac{k\_n}{s - s\_n}
\end{align\*} \\
\ \\
k\_i = \[G(s)(s - s\_i)] |\_{s = s\_i}
$$

状态空间模型:

$$
x' =
\begin{pmatrix}
s\_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & s\_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & s\_n
\end{pmatrix}
x +
\begin{pmatrix}
1 \ 1 \ \vdots \ 1
\end{pmatrix}
u \\
\ \\
y =
\begin{pmatrix}
k\_1 & k\_2 & \cdots & k\_n\
\end{pmatrix}
x
$$

##### b) 有重极点

传递函数 (求解极点并洛朗展开):

$$
\begin{align\*}
G(s) & = \frac{\cdots}{(s - s\_1)^{l\_1} (s - s\_2)^{l\_2} \cdots} \\
& = \frac{k\_{11}}{(s - s\_1)^{l\_1}} + \frac{k\_{12}}{(s - s\_1)^{l\_1 - 1}} + \cdots + \frac{k\_{1l}}{s - s\_1} + \frac{k\_{21}}{(s - s\_2)^{l\_2}} + \cdots
\end{align\*} \\
\ \\
k\_{ij} = \frac{1}{(j - 1)!} \frac{d^{j - 1}}{ds^{j - 1}} \[G(s)(s - s\_i)^l] |\_{s = s\_i}
$$

状态空间模型:

$$
x' =
\begin{pmatrix}
s\_1 & 1 & \cdots & 0 \\
0 & s\_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & s\_1 \\
& & & & s\_2 & 1 & \cdots & 0 \\
& & & & 0 & s\_2 & \cdots & 0 \\
& & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
& & & & 0 & 0 & \cdots & s\_2 \\
& & & & & & & & \ddots \\
& & & & & & & & & s\_n & 1 & \cdots & 0 \\
& & & & & & & & & 0 & s\_n & \cdots & 0 \\
& & & & & & & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
& & & & & & & & & 0 & 0 & \cdots & s\_n \\
\end{pmatrix}
x +
\begin{pmatrix}
0 \ 0 \ \vdots \ 1 \\
0 \ 0 \ \vdots \ 1 \\
\vdots \\
0 \ 0 \ \vdots \ 1
\end{pmatrix}
u \\
\ \\
y =
\begin{pmatrix}
k\_{11} & k\_{12} & \cdots & k\_{1l\_1} &
k\_{21} & k\_{22} & \cdots & k\_{2l\_2} &
\cdots &
k\_{21} & k\_{22} & \cdots & k\_{2l\_2} &
\end{pmatrix}
x
$$

其中每一个块称为 `约旦块`, 整个矩阵称为 `约旦矩阵`:

$$
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{pmatrix}
$$

### 1.5 状态空间线性变换

#### 1.5.1 线性变换

同一线性空间的不同线性变量:

$$
x = P x' \ , \ x' = P^{-1}x
$$

则有如下关系:

$$
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu \\
y = Cx + Du
\end{cases} \\
\ \\
\begin{cases}
\dot{x'} = A'x' + B'u \\
y = C'x' + D'u
\end{cases} \\
\ \\
\text{各矩阵关系:} \ \begin{cases}
A' = P^{-1}AP \\
B' = P^{-1}B \\
C' = CP \\
D' = D
\end{cases} \\
\ \\
\text{初值关系:} \ x'(t\_0) = P^{-1}x(t\_0)
$$

#### 1.5.2 逆矩阵的计算

##### a) 伴随矩阵法

$$
P^{-1} = \frac{adj(P)}{|P|}
$$

$adj(P)$ : 伴随矩阵, $|P|$ : 行列式

$$
p\_{ij}^*(\text{代数余子式}) = (-1)^{i + j}
\begin{vmatrix}
\text{矩阵P对应行列式去掉i行j列的行列式}
\end{vmatrix} \\
\ \\
adj(P) =
\begin{pmatrix}
p\_{11}^* & p\_{21}^*& \cdots & p\_{n1}^* \\
p\_{12}^*& p\_{22}^* & \cdots & p\_{n2}^*\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
p\_{1n}^* & p\_{2n}^*& \cdots & p\_{nn}^*
\end{pmatrix}
$$

##### b) 初等变换法

构造增广矩阵 $\[P \ I]$, 做初等行变换得到 $\[I \ T]$, 则 $P^{-1} = T$

$$
\begin{align\*}
\[P \ I] & = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
-1 & -2 & -3 & | & 0 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 9 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & -2 & | & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & | & 1 & 3/2 & 1/2
\end{pmatrix} \\
& \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 3 & 5/2 & 1/2 \\
0 & 1 & 0 & | & -3 & -4 & -1 \\
0 & 0 & 1 & | & 1 & 3/2 & 1/2
\end{pmatrix} \\
& = \[I \ P^{-1}]
\end{align\*}
$$

#### 1.5.3 特征值不变性与系统的不变量

特征方程: $|\lambda I - A| = 0$, 特征值 $\lambda$, 特征向量: $(\lambda I - A)\mu = 0, \mu$

#### 1.5.4 对角线规范型

状态方程: $\dot{x} = Ax + Bu$

若 $A$ 各个特征值 $\lambda\_1, \lambda\_2, \cdots, \lambda\_n$ 对应特征向量线性独立, 则存在变换矩阵 $P$, 可通过 $x = Px'$ 的方式变换为对角线规范型

变换结果:

$$
x' = A'x' + B'u \\
\ \\
\text{系统矩阵:} \ A' = P^{-1}AP = diag{\lambda\_1, \lambda\_2, \cdots, \lambda\_n} \\
\ \\
\text{变换矩阵:} \ P = \begin{pmatrix}
p\_1 & p\_2 & \cdots & p\_n
\end{pmatrix} \ \\
\ \\
p\_i \text{为} \lambda\_i \text{的特征向量}
$$

特例: 友矩阵转对角线规范型矩阵

友矩阵:

$$
\begin{pmatrix}
0 & \color{aqua}{1} & \color{aqua}{\cdots} & \color{aqua}{0} \\
\vdots & \color{aqua}{\vdots} & & \color{aqua}{\vdots} \\
0 &  \color{aqua}{0} & \color{aqua}{\cdots} & \color{aqua}{1} \\
-a\_n & -a\_{n - 1} & \cdots & -a\_1
\end{pmatrix}
$$

特征多项式:

$$
|\lambda I - A| = \lambda^n + a\_1 \lambda^{n - 1} + \cdots + a\_{n - 1} \lambda + a\_n
$$

则特征值 $\lambda\_i$, 特征向量 $p\_i = \begin{pmatrix}
1 & \lambda\_i & \cdots & \lambda\_i^{n - 1}
\end{pmatrix}^T$

当友矩阵特征值互异时, 对角变换矩阵 $P$ 为范德蒙矩阵:

$$
P = \begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\lambda\_1 & \lambda\_2 & \cdots & \lambda\_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\lambda\_1^{n - 1} & \lambda\_2^{n - 1} & \cdots & \lambda\_n^{n - 1}
\end{pmatrix}
$$

#### 1.5.5 约旦规范型

约旦块:

$$
J\_i = \begin{pmatrix}
\lambda\_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda\_i
\end{pmatrix}
$$

约旦矩阵: 由 $l$ 个约旦块构成的块对角矩阵

矩阵变换为约旦矩阵, 约旦块数为矩阵线性独立特征向量数, 即几何重数

### 1.6 从状态空间表达式求传递函数

状态空间表达式:

$$
\begin{cases}
x' = Ax + Bu \\
y = Cx + Du
\end{cases}
$$

其中 x 为 n 维状态, u 为 r 维输入, y 为 m 维输出

传递函数阵:

$$
G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D
$$

G(s) 为 $m \* r$ 矩阵

## 2. 状态空间表达式的解

### 2.1 线性定常状态方程的解

方程: $\dot{x}(t) = Ax(t)$, 自由解: $x(t) = e^{A(t - t\_0)}x\_0$

零初条件下 $t\_0 = 0$, 自由解: $x(t) = e^{At}x\_0$

$$
\begin{align\*}
x(t) & = (I + At + \frac{1}{2!}A^2t^2 + \cdots + \frac{1}{k!}A^kt^k + \cdots)x\_0 \\
& = e^{At}x\_0
\end{align\*}
$$

### 2.2 状态转移矩阵

状态转移矩阵: $\Phi(t) = e^{At}$, 为 $x(0)$ 到 $x(t)$ 的状态转移矩阵

则 $\bar{x} = Ax$ 的解为 $x(t) = \Phi(t)x\_0 = \Phi(t - t\_0)x(t\_0)$

#### 2.2.1 基本性质

##### a) $\dot{\Phi}(t) = A\Phi(t) = \Phi(t)A$, $\Phi^{-1}(t) = \Phi(-t)$

##### b) 零初: $\Phi(0) = I$

##### c) 组合: $\Phi(t\_1 \pm t\_1) = \Phi(t\_1)\Phi(\pm t\_2)$

##### d) 分段: $\Phi(t\_2 - t\_0) = \Phi(t\_2 - t\_1)\Phi(t\_1 - t\_0)$, $x(t\_2) = \Phi(t\_2 - t\_1)x(t\_1)$

##### e) 若方阵 $AB = BA$, 则 $e^{(A + B)t} = e^{At}e^{Bt}$, 否则不满足

##### f) 若 $A = diag(\lambda\_1,  \lambda\_2, \cdots, \lambda\_n)$ 为对角矩阵, 则 $e^{At} = diag(e^{\lambda\_1t}, e^{\lambda\_2t}, \cdots, e^{\lambda\_nt})$ 也是对角矩阵

#### 2.2.2 特殊矩阵的状态转移矩阵

##### a) 对角

##### b) 能进行对角化

$$
T^{-1}AT = \Lambda \\
\ \\
e^{At} = \Phi(t) = T diag(\lambda\_1, \lambda\_2, \cdots, \lambda\_n) T^{-1}
$$

##### c) 约旦矩阵

$$
A = J =
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & & & 0\\
& \lambda & 1 \\
& & \cdots & \cdots \\
0 & & & & \lambda
\end{pmatrix} \\
\ \\
e^{At} = e^{\lambda t}
\begin{pmatrix}
1  & t & \frac{1}{2}t^2 & \cdots & \frac{1}{(n - 1)!}t^{n - 1} \\
0 & 1 & t & \cdots & \frac{1}{(n - 2)!}t^{n - 2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & t \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}
$$

##### d) 三角矩阵

$$
A =
\begin{pmatrix}
\sigma & \omega \\
-\omega  & \sigma
\end{pmatrix} \\
\ \\
e^{At} =
\begin{pmatrix}
cos \omega t & sin \omega t \\
-sin \omega t & cos \omega t
\end{pmatrix}
e^{\sigma t}
$$

### 2.3 $e^{At}$ 矩阵指数函数的计算

##### a) 直接计算

$$
e^{At} = I + At + \frac{1}{2!}A^2t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}A^nt^n + \cdots
$$

##### b) 变化 A 为约旦标准型

* 特征根互异: $J = T^{-1}AT, e^{At} = Te^{Jt}T^{-1}$
* 特征值有重根: $\Lambda = T^{-1}AT, e^{At} = Te^{\Lambda t}T^{-1}$

##### c) 对 $(sI - A)^{-1}$ 拉氏反变换

$$
e^{At} = L^{-1}\[(sI - A)^{-1}]
$$

##### d) 凯莱-哈密顿法

表达式:

$$
e^{At} = a\_0(t)I + a\_1(t)A + \cdots + a\_{n - 1}(t)A^{n - 1}
$$

当 A 各个特征值互异时, 方程为:

$$
\begin{pmatrix}
a\_0(t) \ a\_1(t) \ \vdots \ a\_{n - 1}(t)
\end{pmatrix}
=============

\begin{pmatrix}
1 & \lambda\_1 & \lambda\_1^2 & \cdots & \lambda\_1^{n - 1} \\
1 & \lambda\_2 & \lambda\_2^2 & \cdots & \lambda\_2^{n - 1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & \lambda\_n & \lambda\_n^2 & \cdots & \lambda\_n^{n - 1}
\end{pmatrix}
^{-1}
\begin{pmatrix}
e^{\lambda\_1T} \ e^{\lambda\_2T} \ \vdots \ e^{\lambda\_nT}
\end{pmatrix}
$$

当 A 各个特征值相同时, 方程为:

$$
\begin{pmatrix}
a\_0(t) \ a\_1(t) \ \vdots \ a\_{n - 1}(t)
\end{pmatrix}
=============

\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{(n - 1)\cdots 2}{(n - 2)!} \lambda \\
0 & 0 & \vdots & \dots & 0 & \vdots \\
0 & 0 & 1 & \dots & \dots & \frac{(n - 1)(n - 2)}{2!} \lambda^{n - 1} \\
0 & 1 & 2 \lambda & \dots & \dots & (n - 1)\lambda^{n - 1} \\
1 & \lambda & \lambda^2 & \dots & \dots & \lambda^{n - 1}
\end{pmatrix}
^{-1}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{(n - 1)!}t^{n - 1}e^{\lambda t} \\
\frac{1}{(n - 2)!}t^{n - 2}e^{\lambda t} \\
\vdots \\
\frac{1}{2!}t^2e^{\lambda t} \\
te^{\lambda t} \\
e^{\lambda t}
\end{pmatrix}
$$

混合情况, 两种组合求解

### 2.4 线性定常系统非齐次方程的解

#### 2.4.1 直接积分法

方程: $\dot{X}(t) = Ax(t) + Bu(t)$

解:

$$
\begin{align\*}
x(t) & = e^{At}x(0) + \int\_0^t e^{A(t - \tau)}Bu(\tau) d\tau \\
& = \Phi(t)x(0) + \int\_0^t \Phi(t - \tau)Bu(\tau) d\tau
\end{align\*} \\
\ \\
x(t) = e^{A(t - t\_0)}x(t\_0) + \int\_{t\_0}^t e^{A(t - \tau)}Bu(\tau) d\tau
$$

#### 2.4.2 拉氏变化法

$$
\begin{align\*}
x(t) & = e^{At}x(0) + \int\_0^t e^{A(t - \tau)}Bu(\tau) d\tau \\
\text{或} \ x(t) & = e^{At}x(0) + \int\_0^t e^{A(\tau)}Bu(t - \tau) d\tau
\end{align\*}
$$

#### 2.4.3 经典输入

##### a) 脉冲 $u(t) = K \delta(t)$: $x(t) = e^{At}(x\_0 + BK)$

##### b) 阶跃 $u(t) = K 1(t)$: $x(t) = e^{At}x\_0 + A^{-1}(e^{At} - I)BK$

##### c) 斜坡 $u(t) = Kt$: $x(t) = e^{At}x\_0 + (A^{-2}(e^{At} - I) + A^{-1}t)BK$

### 2.5 线性时变系统的解

线性时变系统表达式:

$$
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) \\
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
\end{cases} \\
\ \\
\text{ABCD任一为时间连续函数, 则系统为线性时变系统}
$$

时变其次状态方程: $\dot{x}(t) = A(t)x(t)$, 解为: $x(t) = \Phi(t, t\_0)x(t\_0)$, $\Phi(t, t\_0)$ 称为时变系统转移矩阵

#### 2.5.1 求解

##### a) $A(t)$ 与 $\int\_{t\_0}^t A(\tau) d\tau$ 可交换

$$
\Phi(t, t\_0) = I + \int\_{t\_0}^t A(\tau)d\tau + \frac{1}{2!}(\int\_{t\_0}^t A(\tau) d\tau))^2 + \cdots
$$

##### b) $A(t)$ 与 $\int\_{t\_0}^t A(\tau) d\tau$ 不可交换

$$
\begin{align\*}
\Phi(t, t\_0) & = I + \int\_{t\_0}^t A(\tau) \textcolor{aqua}{(I + \int\_{t\_0}^\tau A(\tau\_1) \Phi(\tau\_1, t\_0) d\tau\_1)} d\tau \\
& = I + \int\_{t\_0}^t A(\tau)d\tau + \int\_{t\_0}^t A(\tau) \int\_{t\_0}^\tau A(\tau\_1) \Phi(\tau\_1, t\_0)d\tau\_1d\tau
\end{align\*}
$$

#### 2.5.2 性质

##### a) 零初: $\Phi(t, t) = I$

##### b) 分段: $\Phi(t\_2, t\_0) = \Phi(t\_2, t\_1) \Phi(t\_1, t\_0)$

##### c) $\Phi(t, t\_0)^{-1} = \Phi(t\_0, t)$

##### d) $\dot{\Phi}(t, t\_0) = A(t)\Phi(t, t\_0)$

转移方程:

$$
\Phi(t, t\_0) = I + \int\_{t\_0}^t A(\tau)d\tau + \int\_{t\_0}^t A(\tau\_1)(\int\_{t\_0}^{\tau\_1} A(\tau\_2)d\tau\_2)d\tau\_1 + \cdots
$$

一般不能写成封闭形式, 仅当 $A(t) (\int\_{t\_0}^t A(\tau)d\tau) = (\int\_{t\_0}^t A(\tau)d\tau) A(t)$ 时, 才能写成:

$$
\Phi(t, t\_0) = e^{\int\_{t\_0}^t A(\tau)d\tau}
$$

#### 2.5.3 时变非齐次状态方程的解

方程:

$$
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
$$

解:

$$
x(t) = \Phi(t, t\_0)x(t\_0) + \int\_{t\_0}^t \Phi(t, \tau)B(\tau)u(\tau)d\tau
$$

### 2.6 离散时间系统状态方程的解

### 2.7 线性连续时间系统的离散化

## 3. 线性控制系统的能控性和能观性

### 3.1 能控性

$$
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
$$

#### 3.1.1 状态能控: 初始时刻 $x(t\_0) = x\_0$, 有无约束的 $u(t)$, 使优先时间区间 $\[t\_0, t\_f]$ 内, 系统可运动到 $x(t\_f) = 0$, 称系统在 $t\_0$ 时刻能控, 记作 $x\_c$

$$
\forall x\_0 \ne 0 \to x(t\_f) = 0
$$

#### 3.1.2 系统能控: 对于所有初始状态 $x\_0 \ne 0$, 在 $t\_0$ 时刻均可控, 则称在 $t\_0$ 时刻完全状态可控, 简称系统能控

若 $\forall x(t\_0) = 0 \to x(t\_f) = 0$, 称 $x\_f$ 在 $t\_0$ 能达

线性连续系统的能控性和能达性等价

线性时变系统需强调 $t\_0$ 时刻, 若与 $t\_0$ 无关, 则称 `一致能控`

定常系统与初始时间无关, 称 `状态能控` 或 `系统能控`

#### 3.1.3 不完全能控: 状态空间中存在非零状态的 $t\_0$ 时刻不可控, 则称系统在 $t\_0$ 时刻不完全可控

### 3.2 线性定常系统的能控性判别

#### 3.2.1 对角线规范型判据

将状态空间表达式化为对角线规范型, 得到对角线规范型(或约旦规范型)系统矩阵 $A$ 和控制矩阵 $B$:

$$
\begin{cases}
A' = P^{-1}AP \\
B' = P^{-1}B
\end{cases}
$$

系统可控条件为:

* 若 $A$ 为对角矩阵, 则 $B$ 不包含全 $0$ 行
* 若 $A$ 为约旦矩阵, 则各个约旦块对应 $B$ 中最后一行不全为 $0$, 且相同特征值不同约旦块对应各个 $B$ 中最后一行互相线性无关

此外结构图中不包含于输入 $u$ 无关的孤立方块, 则系统可控

#### 3.2.2 格拉姆矩阵判据

格拉姆矩阵:

$$
W\_c(t\_0, t\_1) = \int\_{t\_0}^{t\_1} \Phi(t\_0, t) B(t) B^T(t) \Phi^T(t\_0, t) dt
$$

系统可控条件为: 存在 $t\_1$ 使格拉姆矩阵 $G\_c(t\_0, t\_f)$ 为非奇异的

#### 3.2.3 秩判据

可控性判别阵: $M = \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n - 1}B \end{bmatrix}$

系统可控条件为: $rank \ M = n$, $n$ 为 $A$ 的维数, $rank$ 为矩阵的秩, 即最大线性无关组元素数

#### 3.2.4 PBH 秩判据

系统可控条件为: 对于 $A$ 所有特征值 $\lambda\_i$, 有

$$
rank
\begin{bmatrix}
\lambda\_i I - AB
\end{bmatrix}
\= n
$$

#### 3.2.5 输出能控

输出能控矩阵: $Q = \begin{bmatrix}CB & CAB & \cdots & CA^{n-1}B \ D\end{bmatrix}$

系统输出能控条件: $rank \ Q = q$, 即 $Q$ 满秩

### 3.3 能观性

* 状态能观
* 系统能观
* 状态不能观

### 3.4 线性定常系统能观性判别

#### 3.4.1 对角线规范型判据

将状态空间表达式化为对角线规范型, 得到对角线规范型(或约旦规范型)系统矩阵 $A$ 和输出矩阵 $C$:

$$
\begin{cases}
A' = P^{-1}AP \\
C' = CP
\end{cases}
$$

系统可控条件为:

* 若 $A$ 为对角矩阵, 则 $C$ 不包含全 $0$ 行
* 若 $A$ 为约旦矩阵, 则各个约旦块对应 $C$ 的首列不全为 $0$, 且相同特征值不同约旦块对应各个 $C$ 的首列互相线性无关

#### 3.4.2 格拉姆矩阵判据

格拉姆矩阵:

$$
G\_o(t\_0, t\_f) = \int\_{t\_0}^{t\_f} \Phi^T(\tau, t\_0) C^T(\tau) C(\tau) \Phi(\tau, t\_0) d\tau
$$

系统可控条件为: 存在 $t$ 使格拉姆矩阵 $G\_o(0, t\_f)$ 为非奇异的

#### 3.4.3 秩判据

系统可控条件为:

$$
Q = \begin{bmatrix} C \ CA \ \vdots \ CA^{n - 1} \end{bmatrix} \\
\ \\
rank \ Q = n
$$

#### 3.4.4 PBH 秩判据

系统可控条件为: 对于 $A$ 所有特征值 $\lambda\_i$, 有

$$
rank
\begin{bmatrix}
\lambda\_i I - A \\
C
\end{bmatrix}
\= n
$$

### 3.5 对偶关系

### 3.6 离散时间系统的能控性与能观性

#### 3.6.1 能控性

离散线性系统:

$$
\begin{cases}
x(k + 1) = G(k)x(k) + H(k)u(k) \\
y(k) = C(k)x(k)
\end{cases}
$$

对于初始时刻 $h$ 与非零初始状态 $x(h) = x\_0$, 可达 $x(l) = 0$, 称在 $h$ 时刻能控

对于线性定常系统, 不在强调 $h$ 时刻, 称系统能控

#### 3.6.2 能控性判据

##### a) $G$ 奇异时, 条件为:

$$
M = \begin{bmatrix}
H & GH & \cdots & G^{n - 1}H
\end{bmatrix} \\
\ \\
rank \ M = n
$$

##### b) $G$ 非奇异时, 上式为充分条件, $l (l < n)$ 步内能控充要条件为:

$$
M = \begin{bmatrix}
H & GH & \cdots & G^{l - 1}H
\end{bmatrix} \\
\ \\
rank \ M = n
$$

#### 3.6.3 能达性判据

能达性充要条件: $rank \ \begin{bmatrix} H & GH & \cdots & G^{n - 1}H \end{bmatrix} = n$

$l (l < n)$ 步能达充要条件:  $rank \ \begin{bmatrix} H & GH & \cdots & G^{l - 1}H \end{bmatrix} = n$

#### 3.6.4 能观性判据

$$
Q = \begin{bmatrix}
C \ CG \ \vdots \CG^{n - 1}
\end{bmatrix} \\
\ \\
rank \ Q = n
$$

#### 3.6.5 连续系统离散化的保持性

线性定常连续系统离散化后, 保持能控能观条件:

对于所有实部相同的特征值 $\lambda\_i, \lambda\_j$, 采样周期满足 $T \ne \frac{2k \pi}{Im(\lambda\_i - \lambda\_j)}$

### 3.7 时变系统的能控性与能观性

#### 3.7.1 格拉姆矩阵判据

* 能控性: $G\_c(t\_0, t\_f) = \int\_{t\_0}^{t\_f}\Phi(t\_0, \tau)B(\tau)B^T(\tau)\Phi^T(t\_0, \tau)d\tau$
* 能观性: $G\_o(t\_0, t\_f) = \int\_{t\_0}^{t\_f}\Phi^T(\tau, t\_0) C^T(\tau) C(\tau) \Phi(\tau, t\_0) d\tau$

需判断状态转移矩阵是否可交换: $A(t\_1)A(t\_2) = A(t\_2)A(t\_1)$, 若可交换, 可写成封闭形式: $\Phi(t, t\_0) = e^{\int\_{t\_0}^t A(\tau)d\tau}$

不可交换时, 使用如下充分判据

#### 3.7.2 能控性判据

$$
\begin{cases}
B\_1(t) = B(t) \\
B\_2(t) = -A(t)B\_1(t) + \dot{B}*1(t) \\
\cdots \\
B\_i(t) = -A(t)B*{i - 1}(t) + \dot{B}\_{i - 1}(t)
\end{cases} \\
\ \\
M(t) = \begin{bmatrix}
B\_1(t) & B\_2(t) & \cdots & B\_n(t)
\end{bmatrix} \\
$$

若 $\exist t\_f > 0, rank \ M(t\_f) = n$, 则能控

#### 3.7.3 能观性判据

$$
\begin{cases}
C\_1(t) = C(t) \\
C\_2(t) = C\_1(t)A(t) + \dot{C}*1(t) \\
\cdots \\
C\_i(t) = C*{i - 1}(t)A(t) + \dot{C}\_{i - 1}(t)
\end{cases} \\
\ \\
Q(t) = \begin{bmatrix}
C\_1(t) \ C\_2(t) \ \vdots \ C\_n(t)
\end{bmatrix} \\
$$

若 $\exist t\_f > 0, rank \ Q(t\_f) = n$, 则能观

### 3.8 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型

能控/能观的状态空间表达式能化成标准型

$$
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + bu \\
y = Cx
\end{cases}
$$

特征多项式: $|\lambda I - A| = \lambda^n + a\_{n - 1}\lambda^{n - 1} + \cdots + a\_1 \lambda + a\_0$

#### 3.8.1 能控标准 1 型

$$
x = P\_{c1} \bar{x} \\
\ \\
P\_{c1} =
\begin{bmatrix}
A^{n - 1}b & A^{n - 2}b & \cdots & Ab, b
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
a\_{n - 1} & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
a\_2 & a\_3 & \cdots & 1 \\
a\_1 & a\_2 & \cdots & a\_{n - 1} & 1
\end{bmatrix} \\
\ \\
\begin{cases}
\bar{A} = P^{-1}*{c1}AP*{c1} \\
\bar{b} = P^{-1}*{c1}b \\
\bar{C} = CP*{c1}
\end{cases}
$$

#### 3.8.2 能控标准 2 型

$$
x = P\_{c2} \bar{x} \\
\ \\
P\_{c2} =
\begin{bmatrix}
b & Ab & \cdots & A^{n - 1}b
\end{bmatrix}
$$

#### 3.8.3 能观标准 1 型

$$
x(t) = P\_{o1}\tilde{x}(t) \\
\ \\
P\_{o1}^{-1} = Q =
\begin{bmatrix}
C \ CA \ \vdots \ CA^{n - 1}
\end{bmatrix}
$$

#### 3.8.4 能观标准 2 型

$$
x = P\_{o2}\tilde{x}(t) \\
\ \\
P\_{o2}^{-1} =
\begin{bmatrix}
1 & a\_{n - 1} & \cdots & a\_2 & a\_1 \\
0 & 1 & \cdots & a\_3 & a\_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & a\_{n - 1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
CA^{n - 1} \ \vdots \CA \ C
\end{bmatrix}
$$

### 3.8 线性系统的结构分解

系统 $\to$ 能控能观, 能控不能观, 不能控能观, 不能控不能观

#### 3.8.1 能控性分解

能控性判别阵: $M = \begin{bmatrix}B & AB & \cdots & A^{n - 1}B\end{bmatrix}$, 选择前 $rank \ M$ 个线性无关的列向量

构建变换矩阵 $R\_c$, 所得列向量为 $R\_c$ 前若干列, 其余列保证 $R\_c$ 非奇异下任选

$$
\begin{cases}
\hat{A} = R^{-1}*{c}AR*{c} \\
\hat{b} = R^{-1}*{c}b \\
\hat{C} = CR*{c}
\end{cases}
$$

#### 3.8.2 能观性分解

能观性判别阵: $Q = \begin{bmatrix}C \ CA \ \vdots \CA^{n 0 1}\end{bmatrix}$, 选择前 $rank \ M$ 个线性无关的行向量

构建变换矩阵 $R\_o$, 所得行向量为 $R\_o$ 前若干行, 其余行保证 $R\_o$ 非奇异下任选

#### 3.8.3 混合分解

* 先按能控性分解系统 $\sum (A, B, C)$, 得到 $\sum\_C, \sum\_{\bar{C}}$
* 按能观性分解不能控子系统 $\sum\_{\bar{C}}(\bar{A}, \bar{B}, \bar{C})$, 得到 $\sum\_{\bar{C}O}, \sum\_{\bar{C}\bar{O}}$
* 按能观性分解能控子系统 $\sum\_C(\bar{A}, \bar{B}, \bar{C})$, 得到 $\sum\_{CO}, \sum\_{C\bar{O}}$

## 4. 稳定性与李雅普诺夫方法

### 4.1 稳定性李雅普诺夫定义

#### 4.1.1 稳定性

系统其次状态方程 $\dot{x} = f(x, t)$, 在初始条件 $(t\_0, x\_0)$ 下, 有唯一解 $x = \Phi(t; x\_0, t\_0)$

上式表示从初始状态随 $t$ 的一条轨迹, 若存在状态 $x\_e$, 对于所有 $t$, 都有 $f(x\_e, t) = 0$, 则称 $x\_e$ 为系统的平衡状态

运动到平衡状态后, 各状态不再变化; 系统不一定存在平衡状态, 也可能存在多个平衡状态

线性系统 $\dot{x} = Ax$, 若 $A$ 非奇异, 则 $Ax\_e = 0$ 的 $x\_e$ 为唯一的平衡状态; 若 $A$ 非奇异, 则存在无穷个平衡状态

非线性系统平衡状态由 $f(x\_e, t) = 0$ 计算

#### 4.1.2 范数

向量的长度称为范数, 向量差的范数称为向量的距离

$$
||x|| = \sqrt{x\_1^2 + x\_2^2 + \cdots + x\_n^2} = (x^Tx)^{\frac{1}{2}} \\
\ \\
||x - x\_e|| = \sqrt{(x\_1 - x\_{e1})^2 + \cdots + (x\_n - x\_{en})^2}
$$

#### 4.1.3 李雅普诺夫稳定性分类

$||\Phi(x\_0, t\_0;t) \le \varepsilon||$, 初态下引起的自由响应是有界的, 根据有界性分类

记球域 $s(\delta)$ 为初态 $x\_0$ 取值, 球域 $s(\varepsilon)$ 为自由响应边界

##### a) 稳定和一致稳定

$\forall \varepsilon > 0, \exist \delta > 0, ||x - x\_e|| \le \varepsilon$, 则称 $x\_e$ 是稳定的

一般 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 和 $t\_0$ 有关, 若 $\delta$ 与 $t\_0$ 无关, 则称一致稳定的

##### b) 渐进稳定

$\forall \varepsilon > 0, \exist \delta > 0, lim\_{t \to \infty} ||x - x\_e|| = 0$, 则称渐进稳定

即从有范围的初态内, 收敛于一点

##### c) 大范围渐进稳定

$\forall x\_0$, 在 $t \to \infty$ 时, 都收敛到 $x\_e$, 则称大范围渐进稳定

##### d) 不稳定

$\forall \varepsilon, \delta, \exist x\_0$, 使得该点触发的轨迹超出球域, 称不稳定

总结:

* $x(t)$ 有界, 则 $x\_e$ 稳定
* $x(t)$ 有界且收敛一点, 则 $x\_e$ 渐进稳定
* $x(t)$ 无界, 则 $x\_e$ 不稳定

经典理论中, 仅渐进稳定称为稳定, 李雅普诺夫稳定为临界稳定, 工程上认为是不稳定的

### 4.2 李雅普诺夫第一法 (间接法)

#### 4.2.1 线性系统稳定性判据

状态渐进稳定条件: $A$ 的所有特征值都具有负实部, 即 $Re(\lambda\_i) < 0$

输出稳定性: 对于输入 $u$, 引起的输出 $y$ 是有界的

输出稳定条件: 传递函数 $W(s) = C(sI - A)^{-1}B$ 的极点均位于 $s$ 左半平面

状态稳定一定输出稳定, 反之不一定; 状态稳定输出稳定对等时, 系统能控又能观

#### 4.2.2 非线性系统稳定性判据

状态方程: $\dot{x} = f(x, t)$

线性化方程:

$$
A = \frac{\delta f}{\delta x^T} |\_{x = x\_e} =
\begin{bmatrix}
\frac{\delta f\_1}{\delta x\_1} & \frac{\delta f\_1}{\delta x\_2} & \cdots & \frac{\delta f\_1}{\delta x\_n} \\
\frac{\delta f\_2}{\delta x\_1} & \frac{\delta f\_2}{\delta x\_2} & \cdots & \frac{\delta f\_2}{\delta x\_n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\frac{\delta f\_n}{\delta x\_1} & \frac{\delta f\_n}{\delta x\_2} & \cdots & \frac{\delta f\_n}{\delta x\_n}
\end{bmatrix} \\
\ \\
\Delta \dot{x} = A \Delta x
$$

$A$ 所有特征值均有负实部, 则 $x\_e = 0$ 渐进稳定

部分为零, 无法判断

### 4.3 李雅普诺夫第二法 (直接法)

构造标量函数 $V(x)$

#### 4.3.1 标量函数符号性质

* $V(x) > 0$, 正定
* $V(x) \ge 0$, 半正定
* $V(x) < 0$, 负定
* $V(x) \le 0$, 半负定
* $V(x) \ne 0$, 不定

#### 4.3.2 二次型标量函数

若 $V(x) = x^TPx$, 则 $V(x)$ 为二次型标量函数, 当 $P$ 为对称矩阵时, 则 $V(x) = x^TPx = \sum \lambda\_i \bar{x}\_i^2$, 其中 $\lambda\_i$ 为 $P$ 特征值

$P$ 符号性质与 $V$ 相同

构建 $\Delta\_i$ 为 $P$ 前 $i$ 行 $i$ 列的行列式, 则有希维尔斯特判据:

* $\Delta\_i > 0$, $P$ 正定
* $i$ 为偶数, $\Delta\_i > 0$, $i$ 为奇数, $\Delta\_i < 0$, $P$ 负定
* $\Delta\_i \ge 0$, $P$ 半正定
* $i$ 为偶数, $\Delta\_i \ge 0$, $i$ 为奇数, $\Delta\_i \le 0$, $P$ 半负定

#### 4.3.3 稳定性判据

构建 $V(x)$ 与一阶导 $\dot{V}(x)$

* 若 $V(x)$ 正定, $\dot{V}(x)$ 负定, 则渐进稳定
* 若 $V(x)$ 正定, $\dot{V}(x)$ 半负定, 则李雅普诺夫稳定; 且 $x \ne 0$ 时 $\dot{V}(x)$ 不恒为零, 则渐进稳定
* 若 $V(x)$ 正定, $\dot{V}(x)$ 正定, 则不稳定
* 若 $V(x)$ 正定, $\dot{V}(x)$ 半正定, 且 $x \ne 0$ 时 $\dot{V}(x)$ 不恒为零, 则不稳定

### 4.4 线性系统应用

构造实对称矩阵:

$$
P =
\begin{bmatrix}
p\_{11} & p\_{12} & \cdots & p\_{1n} \\
p\_{12} & p\_{22} & \cdots & p\_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
p\_{1n} & p\_{2n} & \cdots & p\_{nn}
\end{bmatrix}
$$

任取实对称矩阵 $Q$, 构造 $-Q = A^TP + PA$, 计算 $P$

构造 $V(x) = x^TPx$, $\dot{V}(x) = x^T(-Q)x$

根据李雅普诺夫第二法判断

## 5. 线性定常系统的综合

### 5.1 线性反馈控制系统

#### 5.1.1 反馈控制结构

原系统:

$$
\Sigma\_0:
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu \\
y = Cx + Du
\end{cases}
$$

##### a) 状态反馈: $u = Kx + v$

$$
\Sigma\_K:
\begin{cases}
\dot{x} = (A + BK)x + Bv \\
y = (C + DK)x + Dv
\end{cases}
$$

若 $D = 0$, 传递函数: $W\_k(s) = C\[sI - (A + BK)]^{-1}B$

##### b) 输出反馈: $u = Hy + v$

$$
u = H(Cx + Du) + v = (I - HD)^{-1}(HCx + v) \\
\ \\
\Sigma\_H:
\begin{cases}
\dot{x} = \[A + B(I - HD)^{-1}HC]x + B(I - HD)^{-1}v \\
u = \[C + D(I - HD)^{-1}HC]x
\end{cases}
$$

若 $D = 0$, 则:

$$
\begin{cases}
\dot{x} = (A + BHc)x + Bv \\
y = Cx
\end{cases}
$$

##### c) 输出到状态矢量反馈: $\dot{x} = Ax + Gy + Bu$

$$
\begin{cases}
\dot{x} = (A + GC)x + (B + GD)u \\
y = Cx + Du
\end{cases}
$$

若 $D = 0$, 传递函数: $W\_G(s) = C\[sI - (A + GC)]^{-1}B$

#### 5.1.2 动态补偿器

被控系统: $\begin{cases}\dot{x} = Ax + Bu \ y = Cx\end{cases}$

输出反馈动态补偿器:

$$
\begin{cases}
\dot{x} = Rz + Sy + Tv \\
u = Lz + My + Nv
\end{cases}
$$

增广状态向量: $x\_e = \begin{bmatrix}x \ z\end{bmatrix}$, 则:

$$
\begin{cases}
\dot{x}\_e = A\_ex\_e + B\_ev \\
y = C\_ex\_e
\end{cases} \\
\ \\
A\_e =
\begin{bmatrix}
A + BMC & BL \\
SC & R
\end{bmatrix}
,
B\_e =
\begin{bmatrix}
BN \ T
\end{bmatrix}
,
C\_e =
\begin{bmatrix}
C & 0
\end{bmatrix}
$$

被控系统中动态补偿器下的空值, 等价于增广系统在静态反馈 $u\_e = Ky\_e + Gv$ 的控制作用

#### 5.1.3 反馈的能控性能观性

* 状态反馈不改变能控性, 但不一定保证能观性
* 输出反馈不改变能控性能观性
* 输出至状态导数的反馈不改变能观性, 但不一定保证能控性

### 5.2 极点配置问题

#### 5.2.1 状态反馈

系统完全能控, 则可使用状态反馈任意配置极点

##### a) 直接配置

若系统能控, 构建目标特征多项式: $\phi(s)^*= \prod (s - \lambda\_i^*)$

列出系统特征多项式: $\phi(s) = det\[sI - (A + bK)] = \phi(s, k\_i)$

联立两个多项式, 解出 $K$

##### b) 利用能控标准型配置

若系统能控, 求特征多项式: $det\[sI - A] = s^n + a\_{n - a}s^{n - 1} + \cdots + a\_1s + a\_0$

求目标多项式 $\phi(s)^\*$, 设目标是能控标准型, 求出目标反馈行向量:

$$
\bar{K} =
\begin{bmatrix}
\bar{k}\_0 & \bar{k}*1 & \cdots & \bar{k}*{n - 1}
\end{bmatrix}
=============

\begin{bmatrix}
a\_0 - a\_0^*& a\_1 - a\_1^* & \cdots & a\_n - a\_n^\*
\end{bmatrix}
$$

求将原系统化为标准型的变化矩阵 $P$, 并由 $K = \bar{K}P^{-1}$ 得到 $K$

#### 5.2.2 输出线性反馈

系统完全能控, 无法使用输出线性反馈任意配置极点

#### 5.2.3 动态补偿器

对于完全能控的系统, 若系统完全能观, 且动态补偿器阶数为 $n - 1$, 则可任意配置极点

#### 5.2.4 输出到 $\dot{x}$ 反馈

系统完全能观, 可使用输出到 $\dot{x}$ 反馈任意配置极点

### 5.3 系统镇定问题

### 5.4 系统解耦问题

### 5.5 状态观测器

> 本人预测它不能考, 但是本人预测错了 T\_T

***

真的会有人用 latex 和 markdown 记笔记吗? 神奇的是不单单记录完整了, 甚至还记住了...

希望你永远也用不上这些知识, 希望你永远不会受控制原理的摧残

如果真的很不幸, 也希望能帮到你