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恩格玛机是一战之后德国发明的一种密码机, 在二战中广泛使用.

很早之前就对恩格玛机有很大的兴趣, 昨天, 看到了一个系统性讲解恩格玛机加密以及破译工作的视频, 这里简单解释/记录一下.

B站视频: [上: 恩格玛机加密原理](https://www.bilibili.com/video/BV1DS4y1R7hM) [中: 波兰数学家的破译工作](https://www.bilibili.com/video/BV1M34y1o7ca) [下: 英国数学家的破译工作](https://www.bilibili.com/video/BV1PL4y1H77Z)

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## 凯撒密码

凯撒密码是一种很简单的加密方式, 通过设定的`key`对明文进行偏移, 从而得到密文.

凯撒密码的实现已经成为了目前计算机专业初学者练手的题目

```py
def caesar_encrypt(msg: str, key: int) -> str:
    code = ""
    for _ in msg:
        if _ == ' ':
            code += ' '
        else:
            code += chr((ord(_) - ord('A') + key) % 26 + ord('A'))
    return code

def caesar_decrypt(code: str, key: int) -> str:
    msg = ""
    for _ in code:
        if _ == ' ':
            msg += ' '
        else:
            msg += chr((ord(_) - ord('A') - key) % 26 + ord('A'))
    return msg
```

但是凯撒密码的破译也很简单, 由于`key`只能取`0 - 26`, 因此只要穷举这26种情况, 观察哪种情况看起来是"人话"即可.

```py
def caesar_decode(code: str):
    for key in range(26):
        msg = ""
        for _ in code:
            if _ == ' ':
                msg += ' '
            else:
                msg += chr((ord(_) - ord('A') - key) % 26 + ord('A'))
        print(f"{key} : {msg}")
```

当明文为`HELLO WORLD`, `key = 3`时, 密码为`KHOOR ZRUOG`, 则`caesar_decode("KHOOR ZRUOG")`结果为:

```py
0 : KHOOR ZRUOG
1 : JGNNQ YQTNF
2 : IFMMP XPSME
3 : HELLO WORLD
4 : GDKKN VNQKC
5 : FCJJM UMPJB
6 : EBIIL TLOIA
7 : DAHHK SKNHZ
8 : CZGGJ RJMGY
9 : BYFFI QILFX
10 : AXEEH PHKEW
11 : ZWDDG OGJDV
12 : YVCCF NFICU
13 : XUBBE MEHBT
14 : WTAAD LDGAS
15 : VSZZC KCFZR
16 : URYYB JBEYQ
17 : TQXXA IADXP
18 : SPWWZ HZCWO
19 : ROVVY GYBVN
20 : QNUUX FXAUM
21 : PMTTW EWZTL
22 : OLSSV DVYSK
23 : NKRRU CUXRJ
24 : MJQQT BTWQI
25 : LIPPS ASVPH
```

观察可知`3`时, 输出结果为合法单词, 这样暴力破解即可轻松破解凯撒密码.

之后便有了新的密码对应方案, 使用随机对应关系进行编码

```py
import random

code_book = [chr(_) for _ in range(ord('A'), ord('Z') + 1)]
print(code_book)
random.shuffle(code_book)
print(code_book)
```

这样我们得到一个随机的密码本

```py
code_book = ['J', 'U', 'Y', 'E', 'V', 'B', 'A', 'W', 'R', 'T', 'C', 'S', 'Z', 'D', 'I', 'G', 'K', 'Q', 'P', 'M', 'O', 'X', 'N', 'L', 'H', 'F']
```

此时编写加密/解密程序为:

```py
def random_encrypt(msg: str, code_book: List[str]) -> str:
    code = ""
    for _ in msg:
        if _ == ' ':
            code += ' '
        else:
            code += code_book[letter.index(_)]
    return code

def random_decrypt(code: str, code_book: List[str]) -> str:
    msg = ""
    for _ in code:
        if _ == ' ':
            msg += ' '
        else:
            msg += letter[code_book.index(_)]
    return msg
```

测试如下:

```py
print(random_encrypt("HELLO WORLD", code_book))
print(random_decrypt("WVSSI NIQSE", code_book))
```

```py
WVSSI NIQSE
HELLO WORLD
```

该方法暴力破解难度大大增加, 如果穷举所以可能, 情况数为26的全排列, 是一个非常大的数.

但是, 单独一句话无法得出结论, 若得到大篇幅信息, 可以得到统计规律.

字母使用频率是不均匀的, 大概顺序为`ETAON RISHD LFCMU GYPWB VKJXQ Z`.

根据字母分布信息, 我们即可推测出密码本, 但是这需要大量信息来统计. 不过对于截取敌军电报, 以及部分错误但大体正确的明文, 语言学家人工解密完全可行.

使用一个密码本, 字母存在统计规律. 但是, 如果我们使用两张密码本交替使用, 字母的统计规律将大大缩小.

如果是更多的密码本, 字母频率将区域平衡,  最优解便是每打一个字, 便换一个密码本.

但是, 这样做及其复杂, 且人工极易出错, 因此, 恩格玛机诞生了.

## 恩格玛机使用

恩格玛机拥有键盘, 显示器(对应26个字母的灯泡), 接线板, 转子组, 电池等结构.

加密时, 拨动转子组到初始位置(密码本), 按下按键, 记录显示器显示的字母. 此时转子组自动转动, 等待下次输入.

解码时, 拨动转子组到初始位置(密码本), 按下按键, 记录显示器显示的字母. 此时转子组自动转动, 等待下次输入.

也就是, 初始状态相同时, 加密和解码步骤完全相同, 输入明文得到密码, 输入密码得到明文. 这被称作可逆性.

同时恩格玛机可以做到按下`A`时, 绝不输出`A`, 这被称作排己性.

## 机械原理

加密时, 恩格玛机内部原理如下:

首先将转子组拨动到某位置, 然后按下键盘对应按键, 信号经接线板初次交换之后, 进入转子组进行第二次交换, 转子组交换十分复杂.

信号从转子组返回后, 再次进入接线板进行第三次交换, 之后输出在显示器上, 对应灯泡亮起, 加密结束.

同时, 转子组转动一下, 进行换表.

接线板原理不难解释, 实际上就是将对应开关和灯泡连接起来. 例如, 使用接线连接`A`, `B`对应的孔, 此时按下`A`, 进入转子组进行计算的是`B`, 反之亦然, 从转子组返回的信号输出时也会同样的交换.

也就是说, 接线板实际上就是一次`随机换表`, 若只有接线板, 语言学家仍可轻松破译, 下面介绍恩格玛机核心部分, `转子组`.

## 转子组

转子组由三个转子和一个反射板组成, 每个转子两面各有26个触点, 代表`A - Z`, 之间通过乱序的导线连接, 代表随机的对应关系. 三个转子内部连线互不相同, 同一批次的恩格玛机三个转子连线分别相同且无法更改.

使用时, 信号从右侧进入第一个转子, 进行交换`X1 = R1(C)`, 然后从第一个转子某处`X1`输出进入第二个转子, 进行交换`X2 = R2(X1)`, 接下来再进入第三个转子, 进行交换`X3 = R3(X2)`, 最终从`X3`输出到达反射板.

此时信号进入左侧的反射板, 这是恩格玛机两个性质的由来.

反射板有26个触点, 代表`A - Z`, 内部通过乱序的导线连接随意两个触点, 假设内部`M`, `N`触点相连, 则输入`M`, 输出`N`, 反之亦然.

这就做到了可逆性. 同理, 输入`M`, 绝对不可能输出`M`, 这就做到了排己性 *(经过三个转子后会不会再次变回`M`, 稍后解释)*

信号进入反射板后, 进行交换`X4 = R(X3)`, 之后回到第三个转子, 第二个转子, 第一个转子, 进行交换`X5 = R3(X4), X6 = R2(X5), X = R1(X5)`, 输出.

上述过程中, 一共经过两次`R1`, `R2`, `R3`交换和一次`R`交换, 完整过程为:

$$
C \xRightarrow{R1} X1 \xRightarrow{R2} X2 \xRightarrow{R3} X3 \xRightarrow{R} X4 \xRightarrow{R3} X5 \xRightarrow{R2} X6 \xRightarrow{R7} X
$$

`R1`, `R2`, `R3`都是一一对应关系, 上述过程中, `X3`$\ne$`X4`, 而`(X2, X3)`和`(X4, X5)`通过`R3`对应. 那么`X3`$\ne$`X4`, 则`X2`$\ne$`X5`, 同理`X1`$\ne$`X6`, `C`$\ne$`X`, 即排己性.

同理上述所有关系都是一一对应关系, 则上述关系可逆, `C => X`等价于`X => C`, 这样从数学角度论证了转子组的原理和性质.